Spesifikk baneenergi

Den spesifikke baneenergien spiller en viktig rolle i himmelmekanikk for å løse tolegemeproblemet. Man kan vise at størrelsen er konstant for en gitt bane under ideale forhold. Her gjelder altså også at summen av kinetisk energi og potensiell energi bevares

Vis man forsetter ideen, kommer man til Vis-Viva ligningen, en fundamental ligning i himmelmekanikk.

Navnet spesifikk baneergi kommer fra at man ikke ser på den egentlige energien , men på energien per masse

Det betyr at SI-enhet er: m2·s−2. betegner her den reduserte massen .

KraverRediger

Det som følger trenger noen forenklende kraver som også gjelder for Newtons gravitasjonsteori.

Man ser på to punktformede masser   og   som er i avstand   fra hverandre. Tyngdekraften   virker uten forsinkelse og over hvilken som helst distanse og er den eneste kraften. Koordinatsystemet er inersial.

Nå antar man at  . Det betyr at   er sentrallegemet i origo, og at   er satellitten som går rundt den. Den reduserte massen er nå lik   og tolegemeproblemets ligning er

 

med «gravitasjonsparameteren»   og avstandsvektor   (lengden er  ) som peker fra origo (sentrallegemet) til satellitten fordi  .[Fotnoter 1]

Det er viktig å ikke forveksle gravitasjonsparameteren   med den reduserte massen som blir ofte betegnet med den samme bokstaven  .

Spesifikk baneenergiRediger

 
Avstandsvektoren  , hastighetsvektoren  , sann anomali   og flyvinkelen   av   i omløpet rundt  . De viktigste størrelsene til ellipsen er også merket.

Man får den spesifikke baneenergien når man multipliserer (skalarprodukt) tolegemeproblemets ligning med hastighetsvektoren  

 

Fra bildet til høyre får man

  •  
  •   (Endringen i den radiale komponenten til  , ikke lengden   av  )
  •  

de følgende differnsialene gjelder

  •  
  •  

og altså

 

Det betyr at denne summen er konstant (blir bevart). Og dette er akkurat energien per masse til satelliten, man gjenkjenner den kinetiske energien per masse   og den potensielle energien per masse på grunn av gravitasjon   [Referanser 1]

 

med integrasjonskonstanten   som kan velges i forhol til når   skal være. Vanligvis velger man  .[Referanser 1]

I ord betyr ligningen at baneernegien blir større jo lengre satelliten er fra sentrallegemet og jo raskere den beveger seg. Valget   betyr at energien er negativ når det lille legemet står i ro på overflaten til det større legemet eller når bane er lukket. Energien blir positiv når satellitten flykter ut av gravitasjonsfeltet.

Vis-Viva ligningRediger

Utdypende artikkel: Vis-Viva ligning

Ligningen lengre opp kan omskrives til den tradisjonelle fromen av Vis-Viva ligningen. Det er nok å se på den spesifikke energien i et punkt av omløpsbanen (energien er konstant), f. eks. på periapsen. Med det spesifikke relative drivmomentet   blir hastigheten

 

For Keplerbaner gjelder i tillegg

  •  
  •  

Til sammen blir den spesifikke baneenergien, med unntak av parabelen der  :

 

Noen elementare omsrkivelser gir den tradisjonelle fromen av Vis-Viva ligningen [Referanser 2]

 

Den viktige sammenhengen   sier at energien til satellitten er bare avhengig av gravitasjonsparameteren til sentrallegemet og den store halvaksen til banen.

Dette gjelder for elliptiske baner:  ,   som også innholder sirkelen som spesialtilfellet med  ; og for hyperboliske baner:  ,  . For grensetilfellet paraboliske bane er den spesifike baneenergien 0. Da befinner seg satellitten presist på grensen mellom fengslet i gravitasjonsfeltet til sentrallegemet og flykt fra gravitasjonsfeltet til sentrallegemet.

EksemplerRediger

Banehøyden, den tangensielle hastigheten, omløpsetiden og den spesifikke baneenergien til noen baner rundt Jorden
Omløpsbane Avstand fra sentrum til sentrum Høyden over Jordens overflate über der Erdoberfläche Omløpshastighet Omløpstid Spesifik baneenergi
Stå på jordens overflate på ekvator (Sammenligningsverdi, ingen omløpsbane) 6 378 km 0 km 465,1 m/s 1 døgn (24h) −62,6 MJ/kg
Omløpsbane på høyden av overflaten (ekvator) 6 378 km 0 km 7.9 km/s 1 h 24 min 18 sec −31,2 MJ/kg
Lav omløpsbane 6 600 til 8 400 km 200 til 2000 km Sirkel: 6,9 til 7,8 km/s
Ellipse: 6,5 til 8,2 km/s
1 h 29 min til
2 h 8 min
−29,8 MJ/kg
Molniya-Bane 6 900 til 46 300 km 500 til 39 900 km 1,5 til 10,0 km/s 11 h 58 min −4,7 MJ/kg
Geostasjonær bane 42 000 km 35 786 km 3,1 km/s 23 h 56 min −4,6 MJ/kg
Månens bane 363 000 til 406 000 km 357 000 til 399 000 km 0,97 til 1,08 km/s 27,3 døgn −0,5 MJ/kg

Se ogsåRediger

FotnoterRediger

  1. ^ Man må ikke anta dette for å utlede den spesifikke baneenergien. Uten det er gravitasjonsparameteren  ,   forblir den reduserte massen (ikke  ) og origo ligger i Massesentrumet. Men forenklingen er nesten alltid god og det blir enklere og gå til Vis-Viva ligningen fra den spesifikke baneenergien.

ReferanserRediger

  1. ^ a b David A. Vallado (2013). Fundamentals of Astrodynamics and Applications (engelsk). Hawthorne, CA: Micorcosm Press. s. 26. ISBN 9781881883180. 
  2. ^ David A. Vallado (2013). Fundamentals of Astrodynamics and Applications (engelsk). Hawthorne, CA: Micorcosm Press. s. 27. ISBN 9781881883180.