Potenslinje

Potenslinje er det geometriske sted for punkt som har samme potens med hensyn til to gitte sirkler. Denne rette linjen kan beregnes analytisk eller konstrueres geometrisk. Da potensen til et punkt er lik kvadratet av lengden til tangenten til sirkelen fra punktet, kan man også definere potenslinjen som det geometriske sted for punkter som har like lange tangenter til de to sirklene.

Tangentene til sirklene fra hvert punkt på potenslinjen har samme lengde.

I figuren er potensen til punktet P lik produktet PA ⋅ PB av linjestykkene fra P til de to felles skjæringspunktene A og B mellom sirklene. Dette produktet er opplagt like stort med hensyn på begge sirklene. Det betyr også at de to tangentstykkene PT₁ og PT₂ vil være like lange.

Ikke-overlappende sirkler

Konstruksjon av potenslinjen for to sirkler som ikke skjærer hverandre

Hvis sirklene ikke skjærer hverandre, kan potenslinjen bli funnet ved en tilsvarende konstruksjon. Man slår en ny sirkel som skjærer begge de gitte sirklene i punktene A,B,C og D. Trekker man nå en sekant gjennom de to skjæringspunktene A og B samt en ny sekant gjennom C og D, vil disse to sekantene skjære hverandre i et punkt P. Dette punktet ligger nå både på potenslinjen for den første sirkelen og den nye sirkelen samt på potenslinjen for den andre sirkelen og den nye. Derfor har punktet P samme potens med hensyn på begge de to gitte sirklene.

Ved så å lage en ny hjelpesirkel som gir fire nye skjæringspunkt med de gitte sirklene, kan et nytt punkt P' bli funnet på det geometriske stedet. Potenslinjen for de to gitte sirklene er nå den rette linjen som forbinder disse to konstruerte punktene. Trekker man tangenter fra et punkt på denne potenslinjen til de to gitte sirklene, vil de ha samme lengde. Den står vinkelrett på forbindeleseslinjen mellom sentrene for disse to sirklene.

Denne konstruksjonen kan også bli benyttet hvis de gitte sirklene ligger inne i hverandre. Hvis de berører hverandre, er potenslinjen den felles tangenten som går gjennom berøringspunktet.

Potenssentrum

Potenslinjene til tre sirkler skjærer hverandre i potenssentrum. Det er sentrum for en ortogonal sirkel (orange).

Hvis man har tre sirkler som ligger utenfor hverandre, vil de gi opphav til tre potenslinjer. To av dem vil i alminnelighet skjære hverandre i et punkt. Men dette punktet har nå samme potens med hensyn på alle tre sirklene. Det betyr at også den tredje potenslinjen vil gå gjennom det samme punktet. Dette kalles for sirklenes potenssentrum.

Tangentene fra dette punktet til hver av de tre sirklene vil ha samme lengde. Slår man derfor en sirkel om potenssentret med radius lik denne felles tangentlengden, vil den skjære hver av de tre sirklene vinkelrett. Den er derfor deres felles, ortogonale sirkel.

Analytisk beregning

Det er ikke uten videre klart at den geometriske konstruksjonen gir en rett potenslinje selv om det forholdsvis lett kan demonstreres. Et alternativ er da å bergne den ved bruk av analytisk geometri. En sirkel med radius r og sentrum i (f,g) er beskrevet ved ligningen

$(x-f)^{2}+(y-g)^{2}=r^{2}$

Potensen til et punkt i avstand a fra denne sirkels sentrum er da definert å ha potensen p = a² - r². Denne skal nå ha samme verdi med hensyn på den første sirkelen med radius r₁  sentrert om (f₁, g₁) og også med hensyn på den andre sirkelen i (f₂, g₂) med radius r₂ . Det geometriske sted for punktet P(x,y ) må da oppfylle betingelsen

$(x-f_{1})^{2}+(y-g_{1})^{2}-r_{1}^{2}=(x-f_{2})^{2}+(y-g_{2})^{2}-r_{2}^{2}$

Når denne ligningen skrives ut, kan den forenkles og gir dermed resultatet

$2(f_{2}-f_{1})x+2(g_{2}-g_{1})y+p_{1}-p_{2}=0$

Her er p₁ = f₁² + g₁² - r₁²  potensen av origo med hensyn på den første sirkelen og tilsvarende for p₂. Dette beskriver en rett potenslinje med stigningstall - (f₂ - f₁)/(g₂ - g₁). Da stigningstallet for linjen som forbinder de to sirkelsentrene, er (g₂ - g₁)/(f₂ - f₁), står potenslinjen vinkelrett på denne.

Dette analytiske uttrykket for potenslinjen er gyldig uansett hvordan de to gitte sirklene ligger i forhold til hverandre.

Litteratur

• A. Søgaard og R. Tambs Lyche, Matematikk for den høgre skolen, vol III, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1955).
• H.S.M. Coxeter and S.L. Greitzer, Geometry Revisited, Mathematical Association of America, Washington D.C. (1967). ISBN 978-0-88385-619-2.

Eksterne lenker

• Cut-the-knot, Radical axis, potenslinje på norsk.
• Mathgarden, Radical axis and center, konstruksjon av potenslinjen.