Kvadratisk gjennomsnitt

Kvadratisk gjennomsnitt er en statistisk middelverdi av et sett med tall eller måleserie av en variabel størrelse. Den er spesielt egnet for slike størrelser som kan ta både positive og negative verdier hvor det mer vanlige, aritmetiske gjennomsnittet ikke gir noe anvendelig resultat. Det blir også omtalt som størrelsens effektivverdi og på engelsk som dens root mean square eller rms.

Standardavviket til en stokastisk variabel er gitt ved det kvadratiske gjennomsnittet av avviket fra dens aritmetiske middelverdi.

Definisjon

Det kvadratiske gjennomsnittet av et sett med tall er kvadratroten av det aritmetisk gjennomsnittet av kvadratene til disse tallene. Er de gitt ved settet {x₁, x₁, ..., x_n}, så er da det kvadratiske gjennomsnittet gitt som

$x_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{\frac {1}{n}}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right)}}$

Man kan vise at denne verdien alltid er større enn det aritmetiske gjennomsnittet. For eksempel, så er det kvadratiske gjennomsnittet av de åtte tallene {2, 3, 6, 7, 7, 8, 9, 10} lik

$x_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{1 \over 8}\left(2^{2}+3^{2}+6^{2}+7^{2}+7^{2}+8^{2}+9^{2}+10^{2}\right)}}={\sqrt {\frac {392}{8}}}={\sqrt {49}}=7,$

mens det aritmetiske gjennomsnittet er 6,5.

Kontinuerlig variabel

I mange naturlige prosesser og tekniske variable forandrer den variable seg kontinuerlig, for eksempel som funksjon av tiden. Da er x = x(t)  og vil ofte variere mellom positive og negative verdier. Over et tidsrom fra t₁  til t₂  blir da det kvadratiske gjennomsnittet av denne variable

$x_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{1 \over {t_{2}-t_{1}}}{\int _{t_{1}}^{t_{2}}{[x(t)]}^{2}}\!\,dt}}$

hvor summen i definisjonen er erstattet med et integral. Ved en virkelig stokastisk prosess må dette utføres ved en numerisk beregning. Derimot, hvis tidsvariasjonen er periodisk, kan integralet ofte utføres analytisk.

Periodisk variabel

Den enkleste og mest vanlige, periodiske variasjon er harmonisk svingning hvor tidsforløpet er gitt ved en sinuskurve. Er perioden T, så kan denne skrives som

$x(t)=a\cos {2\pi \over T}t$

hvor a er amplituden til denne svingningen. Den har et aritmetisk gjennomsnitt som er null,

${\bar {x}}={1 \over T}\int _{0}^{T}\!dt\,a\cos {2\pi \over T}t=0,$

da integranden er like mye positiv som negativ under en hel svingning.

Derimot, for det kvadratiske gjennomsnittet

$x_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{1 \over T}{\int _{0}^{T}{[x(t)]}^{2}}\,\!dt}}$

er ikke det lenger tilfelle. Her kan integralet lett beregnes fra den trigonometriske identiteten 2 cos²α = 1 + cos 2α. Det gir

$\int _{0}^{T}\!dt\,\cos ^{2}{2\pi \over T}t={T \over 2}$

da integralet av den siste cosinus-funksjonen gir null på samme måte som det aritmetiske gjennomsnittet ble null. Derfor blir x_rms = a/√2 som er effektivverdien. Den er 70% av amplituden som er den maksimale verdi av svingningen.

Hvis den periodiske varisjonen hadde hatt et annet tidsforløp og fulgt f.eks. en firkant- eller sagtakkurve, ville det kvadratiske gjennomsnittet kunne få en annen verdi.

Se også

• Gjennomsnitt
• Effektivverdi
• Aritmetisk gjennomsnitt
• Geometrisk gjennomsnitt
• Harmonisk gjennomsnitt
• Vektet gjennomsnitt
• Median

Eksterne lenker

• Wolfram, Root Mean Square, MathWorld.