Kubens fordobling

Kubens fordobling er et geometrisk problem fra antikkens Hellas. Det består i å konstruere sidekanten i en kube som skal ha dobbelt så stort volum som en gitt kube. Da denne oppgaven noen ganger knyttes til datidens bysamfunn på Delos, blir det også omtalt som det deliske problem.

Fordobling av volumet til en kube.

Opp gjennom årene ble mange løsningsmetoder foreslått, men ingen var tilfredsstillende. Hvis man bare kunne benytte passer og linjal i løsningen av problemet, så så det også etter hvert ut som om oppgaven var umulig. Dette ble først matematisk bevist på begynnelsen av 1800-tallet ved utviklingen av den nye Galois-teori for utvidelse av tallkropper.

Historie

Ifølge den greske historiker Plutark oppstod problemet under en pest på 400-tallet f.Kr. på den greske øyen Delos. Innbyggerne konsulterte oraklet i Delfi som ba dem om å konstruere et nytt alter til guden Apollon. Det fantes allerede et tempel der viet til Apollon med et kubisk alter. Det nye alteret skulle være dobbelt så stort. Dette klarte de ikke, og de konsulterte Platon. Han kunne heller ikke finne en løsning, men mente at oraklets svar betydde at innbyggerne på øya måtte i større grad vie seg til geometriske studier.

Forskjellige løsninger ble foreslått basert på spesielle kurver eller mekaniske innretninger. Men disse ble ikke ansett som tilfredsstillende da de eneste hjelpemiddel som skulle kunne benyttes, var passer og linjal som Euklids geometri var bygd opp på. Kubens fordobling var derfor et av de første eksempel på det som krevde en geometrisk konstruksjon av en numerisk størrelse.

Omtrent to tusen år senere gjorde arbeidene til Niels Henrik Abel og Evariste Galois det klart at dette og lignende, geometriske problem er intimt knyttet til løsninger av polynomligninger. Dette ga en mye bedre forståelse av konstruerbare tall. Med denne nye innsikten kunne så den franske matematiker Pierre Wantzel i 1837 vise at det deliske problem med kubens fordobling er uløselig.

Matematikk

Hvis sidekanten til den gitte kuben er a, vil den ha volumet V₁ = a³. Oppgaven består da i å konstruere en ny sidekant x slik at volumet til den nye kuben V₂ = x³ = 2V₁. Matematisk sett er da løsningen gitt ved kubikkroten x = 2^1/3a  som også kan skrives som $x=a{\sqrt[{3}]{2}}$.

Et av de første forslagene til en løsning av dette problemet, kom fra den samtidige, greske matematikeren Hippokrates fra Khíos. På hans tid var det kjent hvordan man kunne konstruere geometrisk ved hjelp av passer og linjal en lengde x ut fra to gitte lengder a og b slik at a/x = x/b. Det tilsvarer en geometrisk konstruksjon av kvadratroten til ab. Hippokrates foreslo derfor at man skulle på en tilsvarende måte prøve å konstruere to lengder x og y fra de gitte lengdene a og b slik at de oppfylte de to kravene a/x = x/y = y/b. Ved her å sette b = 2a, finner man at x³ = 2a³ ved å eliminere y. Det ville derfor gi løsningen av problemet. Men han kunne ikke vise hvordan konstruksjonen skulle gjøres.

Menaikhmos

Likevel ble denne formuleringen av problemet i de følgende årene grunnlaget for andre løsningsforslag basert på bruk av forskjellige kurver. Blant disse fikk kanskje forslaget til Menaikhmos største betydning. Han hadde studert forskjellige kjeglesnitt som han viste kunne benyttes til å gi en løsning. Med b = 2a i betingelsene til Hippokrates, kan disse skrives som x² = y og y² = 2x. Den første ligningen beskriver en parabel med akse langs y-aksen, mens den andre beskriver en parabel med akse langs x-aksen. Skjæringspunktet mellom disse to kurvene har en x-verdi som er sidekanten i den fordobbelte kuben. Det samme resultatet fremkommer fra skjæringspunktet mellom parabelen x² = y og hyperbelen xy = 2. Dette var en grafisk løsning av problemet. Men den er ikke akseptabel da kjeglesnittene ikke lar seg konstruere med passer og linjal alene.

En tilnærmet løsning

Lengden BP er siden i kuben med dobbelt så stort volum.

En annen, tilnærmet løsning kan finnes ved bruk av passer og linjal hvis denne er påtegnet en lengdeskala. Først konstruerer man trekanten MNP i figuren hvor alle sidene har den samme lengden a. Så forlenges siden PN til punktet R med et linjestykke NR med samme lengde a. Etter å ha trukket en rett linje gjennom punktene R og M, benytter man så skalen på linjalen. Den legges slik at sidekanten går gjennom P. Ved så å la den gli slik at skjæringspunktet B med den forlengede linjen RM får en avstand fra linjalens endepunkt A som nøyaktig avleses på skalaen å være lik med den gitte lengden a. Da er avstanden BP på linjalen det søkte linjestykket x. Det er den glidende benyttelsen av linjalen som ikke er tillatt da den gir en upresis bestemmelse av skjæringspunktet B og ikke kan benyttes i en geometrisk konstruksjon.

Se også

• Sirkelens kvadratur
• Vinkelens tredeling
• Geometrisk konstruksjon
• Konstruerbare tall

Litteratur

• J. Reed og J. Aarnes, Matematikk i vår tid, Universitetsforlaget, Oslo (1967).
• S. Thorvaldsen, Matematisk kulturhistorie, Eureka Forlag, Høgskolen i Tromsø, Tromsø (2003). ISBN 82-7389-045-7.
• C.B. Boyer, A History of Mathematics, Princeton University Press, New Jersey (1985). ISBN 0-691-02391-3.

Eksterne lenker

• MacTutor, Doubling the cube, University of St. Andrews, Scotland.
• E.W. Weisstein, Cube Dublication, MathWorld.