Kompleks konjugasjon

Et komplekskonjugat er resultatet av en operasjon på et komplekst tall. I det komplekse tallsystemet innebærer konjugering å avbilde tallet som dets speiling om den reelle aksen. Komplekskonjugatet av et tall $\ z=a+bi$ betegnes med ${\bar {z}}$ eller $z^{*}\,$ og kan defineres som

Et komplekst tall og dets konjugerede verdi i det komplekse tallsystemet.

${\bar {z}}={\overline {a+bi}}=a-bi\quad a,b\in \mathbb {R}$

eller i polarkoordinater

${\overline {z}}={\overline {re^{i\theta }}}=re^{-i\theta }\quad r\in \mathbb {R} \quad \theta \in [0,2\pi ]$

Egenskaper

Følgende gjelder for alle komplekse tall $\ z$ og $\ w$

${\overline {(z+w)}}={\overline {z}}+{\overline {w}}\!\$

${\overline {(zw)}}={\overline {z}}\;{\overline {w}}\!\$

${\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}}$ om $w\neq 0\,$

${\overline {z}}=z\!\$ om og bare om $z$ er et reelt tall.

$\left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|$

$\arg({\overline {z}})=-\arg(z)$

${\left|z\right|}^{2}=z{\overline {z}}$

$z^{-1}={\frac {\overline {z}}{\ \left|z\right|^{2}}}$ om $z\neq 0\,$

Komplekskonjugering er et av de enkleste eksemplene på en ikke-analytisk funksjon.