Halveringslinjesetningen

Halveringslinjesetningen er et teorem i euklidsk geometri om halveringen av en vinkel i en trekant. Hvis trekanten er gitt ved hjørnene A, B og C, og vinkelen i A halveres ved en linje som går gjennom punktet D på den motsatte siden, så vil forholdet mellom de to linjestykkene denne blir delt i, være gitt som

Setningen sier at BD/DC = AB/AC når linjen AD halverer vinkelen i A..

${BD \over DC}={AB \over AC}\ .$

Setningen ble allerede bevist i Euklids Elementer om geometri. Den er av stor, praktisk betydning i løsning av mange geometriske oppgaver.

Linjen BE er parallell med AD. Da vil alle de skraverte vinklene være like store.

Det er mange måter å bevise setningen på. Hvis man for eksempel betrakter trekantene ADB og ADC, så er forholdet mellom deres areal lik med BD/DC når disse linjestykkene betraktes som grunnlinjene i trekantene som dermed får felles høyde. Men det samme forholdet mellom de to trekantarealene kan også beregnes ved å betrakte AD som en felles grunnlinje. Da blir forholdet mellom høydene lik med AB/AC da de begge har en vinkel i punktet A som er en halvdel av den fulle vinkelen i dette punktet. Derfor må BD/DC = AB/AC, og halveringslinjesetningen er bevist.

Et rent geometrisk bevis kan gjennomføres ved å trekke en linje gjennom hjørnet B parallell med AD. Denne nye linjen skjærer forlengelsen av AC i et nytt punkt E. Da er trekantene ECB og ACD formlike slik at EA/AC = BD/DC. Denne sammenhengen er ofte omtalt som et av Tales’ teorem. I tillegg er trekanten EAB likebent med EA = AB. Disse to forholdene gir nå til sammen at AB/AC = BD/DC, og setningen er igjen bevist.

Litteratur

• A. Søgaard og R. Tambs Lyche, Matematikk for den høgre skolen, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1955).

Eksterne lenker

• Cut the Knot, Angle Bisector Theorem, med flere bevis.