En vektorversjon av dette bildet (SVG) er tilgjengelig. Det bør brukes i stedet for punktgrafikkbildet når det er fordelaktig. File:Pm1234-Euler.png → File:Pm1234 Euler.svg For mer informasjon om vektorgrafikk les Commons transition to SVG. Se også information about MediaWiki's support of SVG images. På andre språk Alemannisch ∙ Bahasa Indonesia ∙ Bahasa Melayu ∙ British English ∙ català ∙ čeština ∙ dansk ∙ Deutsch ∙ eesti ∙ English ∙ español ∙ Esperanto ∙ euskara ∙ français ∙ Frysk ∙ galego ∙ hrvatski ∙ Ido ∙ italiano ∙ lietuvių ∙ magyar ∙ Nederlands ∙ norsk bokmål ∙ norsk nynorsk ∙ occitan ∙ Plattdüütsch ∙ polski ∙ português ∙ português do Brasil ∙ română ∙ Scots ∙ sicilianu ∙ slovenčina ∙ slovenščina ∙ suomi ∙ svenska ∙ Tiếng Việt ∙ Türkçe ∙ vèneto ∙ Ελληνικά ∙ беларуская (тарашкевіца) ∙ български ∙ македонски ∙ нохчийн ∙ русский ∙ српски / srpski ∙ татарча/tatarça ∙ українська ∙ ქართული ∙ հայերեն ∙ বাংলা ∙ தமிழ் ∙ മലയാളം ∙ ไทย ∙ 한국어 ∙ 日本語 ∙ 简体中文 ∙ 繁體中文 ∙ עברית ∙ العربية ∙ فارسی ∙ +/−

 

Beskrivelse

Euler summation of 1 − 2 + 3 − 4 + · · · to 1/2-1/4.

The original series 1 − 2 + 3 − 4 + · · · is depicted at the top of the diagram; the Euler transformed series 1/2 − 1/4 + 0 + 0 + · · · is depicted at the bottom of the diagram. The conclusion is that the Euler sum of 1 − 2 + 3 − 4 + · · · is 1/2-1/4 = 1/4.

Only the first four terms of the series are shown. A white disk represents +1; a reddish disk represents −1. The units are grouped on top of each other as they occur within the terms of the series.

Let a = 1 − 2 + 3 − 4 + · · · be the original formal series. Let S be the shift operator on formal series,

${\displaystyle S(a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots )=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots .}$

Let T be the average between S and the identity operator:

${\displaystyle T={\frac {1+S}{2}},\quad T(a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots )=\left({\frac {a_{0}+a_{1}}{2}},{\frac {a_{1}+a_{2}}{2}},{\frac {a_{2}+a_{3}}{2}},\cdots \right).}$

Then given a series a, if it converges, then its sum is the same as the sum of the series

${\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}+Ta.}$

The Euler summation procedure has many descriptions, but for the present purposes it can be described as a repetition of the above "process". To be precise, the nth term of the Euler transformed series is

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(T^{n}a)_{0}.}$

See eq. (20.3) of Korevaar, Jacob (2004) Tauberian Theory: A Century of Developments, Springer, pp. 326 ISBN 3-540-21058-X

To compute this transform in place, one pulls half of each term into the next term, then fixes the first term, then repeats.

The part of the diagram with the four green stripes indicates taking half of every term in the original series a and pulling it into the next term. Most of the units cancel, leaving the series

${\displaystyle {\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}+\cdots .}$

The first term of this series is fixed, leaving

${\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}+Ta.}$

The process repeated upon the remaining terms, leaving 1/2 − 1/4 + 0 + 0 + · · ·. Now two terms are fixed, and the remaining terms are all zero, so all further applications of T do not change the series, and they are not depicted. In the visual language, subsequent green stripes pull on nothingness.

The result is the Euler transformed series, 1/2 − 1/4 + 0 + 0 + · · ·. It is convergent, having only two nonzero terms, and its sum is 1/2 − 1/4. The diagram does not distinguish between the finite series and its sum. As a number, 1/2 − 1/4 = 1/4.

The above is done to illustrate how Euler summation works on the series. In practice, one exploits auxiliary quantities, and the computation is much easier; see for example Image:Pm1234-Euler1755.png. An extended description of Euler's procedure on 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·, including reversing its alternation and taking iterated forward differences, is at w:1 − 2 + 3 − 4 + · · ·#Euler and Borel.

Lisensiering

Jeg, rettighetsinnehaver av dette arbeidet, publiserer det herved under følgende lisenser:

Det tillates at dette dokumentet kopieres, distribueres og/eller modifiseres under retningslinjene som beskrevet i GNU fri dokumentasjonslisens, versjon 1.2 eller senere utgave utgitt av Free Software Foundation; med alle seksjoner, uten noen forsidetekster og baksidetekster. En kopi av lisensen er inkludert i avsnittet GNU Free Documentation License.http://www.gnu.org/copyleft/fdl.htmlGFDLGNU Free Documentation Licensetruetrue

	Denne filen er lisensiert under lisensen Creative Commons Navngivelse-DelPåSammeVilkår 3.0 Unported
	Du står fritt: til å dele – til å kopiere, distribuere og overføre verket til å blande – til å endre verket Under de følgende betingelsene: navngivelse – Du må kreditere verket på passende vis, lenke til lisensen og indikere hvorvidt det har blitt gjort endringer. Du kan gjøre det på enhver rimelig måte, men ikke på en måte som antyder at lisensgiveren støtter deg eller din bruk av verket. del på samme vilkår – Dersom du remikser, omarbeider eller på annen måte bygger på dette verket, må du kun distribuere resultatet under den samme eller en samsvarende lisens som denne.
	Dette lisensmerket ble lagt til filen som del av lisensoppdateringen av GFDL.http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/CC BY-SA 3.0Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0truetrue

Denne filen er lisensiert under lisensene Creative Commons Navngivelse-DelPåSammeVilkår 2.5 Generisk, 2.0 Generisk og 1.0 Generisk.

Du står fritt:

• til å dele – til å kopiere, distribuere og overføre verket
• til å blande – til å endre verket

Under de følgende betingelsene:

• navngivelse – Du må kreditere verket på passende vis, lenke til lisensen og indikere hvorvidt det har blitt gjort endringer. Du kan gjøre det på enhver rimelig måte, men ikke på en måte som antyder at lisensgiveren støtter deg eller din bruk av verket.
• del på samme vilkår – Dersom du remikser, omarbeider eller på annen måte bygger på dette verket, må du kun distribuere resultatet under den samme eller en samsvarende lisens som denne.

https://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.5CC BY-SA 2.5 Creative Commons Attribution-Share Alike 2.5 truetrue

Du kan velge lisens etter eget valg.