Einstein-forhold (kinetisk teori)

Einstein-forholdet (også kjent som Wright-Sullivan-forholdet[1]) er i fysikk (spesielt den kinetiske teorien om gasser) en tidligere uventet forbindelse avslørt uavhengig av William Sutherland i 1904,[2][3][4] Albert Einstein i 1905,[5] og av Marian Smoluchowski i 1906[6] i deres arbeid på Brownsk bevegelse. Den mer generelle formen på ligningen er[7]

hvor

D er diffusjonskoeffisienten;
μ er "mobiliteten", eller forholdet mellom partikkelens terminaldrifthastighet og en påført kraft, μ = vd/F;
kB er Boltzmanns konstant;
T er den absolutte temperaturen.

Denne ligningen er et tidlig eksempel på et forhold mellom svingninger og spredning.[8]

To ofte brukte viktige spesielle former for forholdet er:

(elektrisk mobilitetsligning, for diffusjon av ladede partikler[9])
(Stokes-Einstein-ligning, for diffusjon av sfæriske partikler gjennom en væske med lavt Reynolds-antall) Hvor

Spesielle tilfeller rediger

Elektrisk mobilitetsligning rediger

For en partikkel med elektrisk ladning q, dets elektriske mobilitet μq er relatert til den generelle mobiliteten μ ved ligningen μ = μq/q. Parameteren μq er forholdet mellom partikkelens terminaldrifthastighet og et påført elektrisk felt. Derfor blir ligningen i tilfelle av en ladet partikkel gitt som

 

hvor

  •   er diffusjonskoeffisienten ( ).
  •   er den elektriske mobiliteten( ).
  •   er den elektriske ladningen til partikkel (C, coulomb)
  •   er elektrontemperaturen eller ionetemperaturen i plasma (K).[10]

Hvis temperaturen er gitt i Volt, som er mer vanlig for plasma:

 

hvor

  •   er ladetallet på partikkelen (enhetsløs)
  •   er elektrontemperatur eller ionetemperatur i plasma (V).

Stokes–Einstein ligning rediger

I grensen for lavt Reynolds-tall er mobiliteten μ den omvendte av dragkoeffisienten . En dempende konstant  brukes ofte for den omvendte momentumavslappingstiden (tid som trengs for at treghetsmomentet blir ubetydelig sammenlignet med det tilfeldige momenta) til det diffusive objektet. For sfæriske partikler med radius r, Stokes lov gir

 

hvor   er viskositeten til mediet. Dermed resulterer forholdet Einstein-Smoluchowski i forholdet Stokes-Einstein

 

Dette har blitt brukt i mange år for å estimere selvdiffusjonskoeffisienten i væsker, og en versjon i samsvar med isomorfteorien er bekreftet av datasimuleringer av Lennard-Jones-systemet.[11]

I tilfelle rotasjonsdiffusjon er friksjonen  , og rotasjonsdiffusjonskonstanten   er

 

Halvleder rediger

I en halvleder med en vilkårlig tilstandstetthet, dvs. et forhold mellom formen   mellom tettheten til hull eller elektroner   og tilsvarende kvasi Fermi-nivå (eller elektrokjemisk potensial)  , Einstein-forholdet er[12][13]

 

hvor   er den elektriske mobiliteten. Et eksempel som antar en parabolsk dispersjonsforhold for tilstandstettheten og Maxwell-Boltzmann-statistikken, som ofte brukes til å beskrive uorganiske halvledermaterialer, kan man beregne (se tilstandstetthet):

 

hvor   er den totale tettheten av tilgjengelige energitilstander, som gir den forenklede relasjonen:

 

Nernst-Einstein ligningen rediger

Ved å erstatte diffusivitetene i uttrykkene for elektriske ioniske mobiliteter av kationene og anionene fra uttrykkene for ekvivalent ledningsevne til en elektrolytt, blir Nernst-Einstein ligningen avledet:

 

Referanser rediger

  1. ^ Introduction to Nanoscience by Stuart Lindsay, p. 107.
  2. ^ World Year of Physics – William Sutherland at the University of Melbourne. Essay by Prof. R Home (with contributions from Prof B. McKellar and A./Prof D. Jamieson) dated 2005. Accessed 2017-04-28.
  3. ^ Sutherland William (1905). «LXXV. A dynamical theory of diffusion for non-electrolytes and the molecular mass of albumin». Philosophical Magazine. Series 6. 9 (54): 781–785. doi:10.1080/14786440509463331. 
  4. ^ P. Hänggi, "Stokes–Einstein–Sutherland equation".
  5. ^ Einstein, A. (1905). «Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen». Annalen der Physik. 322 (8): 549–560. Bibcode:1905AnP...322..549E. doi:10.1002/andp.19053220806. 
  6. ^ von Smoluchowski, M. (1906). «Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen». Annalen der Physik. 326 (14): 756–780. Bibcode:1906AnP...326..756V. doi:10.1002/andp.19063261405. 
  7. ^ Dill, Ken A.; Bromberg, Sarina (2003). Molecular Driving Forces: Statistical Thermodynamics in Chemistry and Biology (engelsk). Garland Science. s. 327. ISBN 9780815320517. 
  8. ^ Umberto Marini Bettolo Marconi, Andrea Puglisi, Lamberto Rondoni, Angelo Vulpiani, "Fluctuation-Dissipation: Response Theory in Statistical Physics".
  9. ^ Van Zeghbroeck, "Principles of Semiconductor Devices", Chapter 2.7 Arkivert 6. mai 2021 hos Wayback Machine..
  10. ^ Raizer, Yuri (2001). Gas Discharge Physics. Springer. s. 20–28. ISBN 978-3540194620. 
  11. ^ Costigliola, Lorenzo; Heyes, David M.; Schrøder, Thomas B.; Dyre, Jeppe C. (14. januar 2019). «Revisiting the Stokes-Einstein relation without a hydrodynamic diameter». The Journal of Chemical Physics. 150 (2): 021101. PMID 30646717. doi:10.1063/1.5080662. 
  12. ^ Solid State Physics. New York (USA): Holt, Rineheart and Winston. 1988. s. 826. 
  13. ^ Bonnaud, Olivier (2006). Composants à semiconducteurs (fransk). Paris (France): Ellipses. s. 78.