Delingsforhold

Delingsforhold blir brukt i geometrien til å angi forholdet mellom lengdene til to deler av et linjestykke. I enkleste tilfelle kan man tenke seg en linje som går gjennom to punkter A og B. Linjestykket mellom disse to punktene kan da betegnes med AB. Et nytt punkt T på dette linjestykket deler det i to mindre stykker AT og TB. Delingsforholdet er da gitt ved brøken λ = AT/TB og angis også ofte som (A,B;T). Hvis linjestykket AB halveres av punktet T, er derfor λ = 1. Jo nærmere T ligger A, desto mindre blir delingsforholdet. I det motsatte tilfellet når T nærmer seg B, vokser det mot uendelig.

Forskjellige delinger av linjestykket AB med resulterende delingsforhold.

Hvis man angir en viss retning langs linjen slik at den har en orientering, vil et linjestykke ha en positiv eller negativ verdi avhengig av om man går med eller mot denne retningen. Betegnelsen AB betyr da at man beveger seg fra A mot B. Det medfører at AB = - BA.

Dette gjør det mulig å utvide definisjonen av delingsforholdet til å gjelde også når punktet T ligger utenfor punket A eller punktet B. Dette kan da kalles utvendig deling og vil gi et negativt delingsforhold bortsett fra verdien λ = - 1 som ikke lar seg konstruere. I det motsatte tilfellet er delingsforholdet positivt og man har en innvendig deling.

Delingsforholdet ble introdusert av den tyske matematiker August Möbius i hans verk Der barycentrische Calcul  om affin geometri. Dette kom ut i 1827. Her introduserte han også homogene koordinater som viste seg spesielt egnet for projektiv geometri.

I euklidsk geometri kan verdien av delingsforholdet (A,B;T) beregnes fra lengdene til linjestykkene AT og TB. Det er derfor uforandret eller invariant under translasjoner og rotasjoner. Men det har en bredere betydning da det er invariant også under affine transformasjoner. Disse definerer en mer generell affin geometri hvor lengder av linjestykker ikke lenger er definert, heller ikke vinkler mellom linjer. På tross av det er likevel delingsforholdet λ = AT/TB veldefinert. Derimot er det ikke invariant under projektive transformasjoner, men kan for det tilfellet benyttes til å definere det invariante dobbeltforholdet.

Affin geometriRediger

Et punkt T på linjen mellom A og B kan i affin geometri angis som T = (1- t)A + tB hvor t er en parameter som også kalles en barysentrisk koordinat. For t = 0  er T = A, mens t = 1  gir T = B. Midtpunktet mellom A og B tilsvarer t = 1/2. Dette kan også skrives som T = A + vt  hvor vektoren v = B - A  forbinder punktene A og B.

 
Posisjonsvektorer ved indre deling av linjestykket AB i punktet T.

Velger man et punkt O som origo i dette affine rommet, kan man da angi punktet T ved posisjonsvektoren rT = T - O  og tilsvarende for punktet A. Da har man tilsvarende at

 

Man kan nå identifisere linjestykket AT  med vektoren rT - rA = vt og tilsvarende TB med (1 - t)v. På den måten vil linjestykket AB = AT + TB  tilsvare vektoren v. Dermed har man for delingsforholdet

 

hvor ikke lengden til vektorene inngår.

Hvis linjestykket AB  er en indre del av et større linjestykke PQ , vil man på tilsvarende måte kunne skrive T = (1- t)P+ tQ. Punktet A er da angitt ved parameterverdien t = a , mens punktet B  har t = b. Da blir på samme måte

 

Det viser at delingsforholdet er negativt når t < a  som tilsvarer at T  ligger utenfor punktet A. Det samme skjer når t > b  som betyr at delingspunktet ligger utenfor punktet B. Mer nøyaktig, så er da λ < - 1, mens i det første tilfellet ligger delingsforholdet i intervallet - 1 < λ < 0. Når punktet T  nærmer seg B, går delingsforholdet mot ±∞, avhengig av fra hvilken side tilnærmelsen skjer.

Harmonisk delingRediger

Betrakter man et linjestykke AB  som blir innvendig delt av et punkt T, så kan man alltid finne et annet punkt S som deler linjestykket utvendig og som har et like stort delingsforhold, men med motsatt fortegn. Man sier da at punktene S  og T  er harmonisk konjugerte med hensyn til linjestykket AB. Da oppfyller delingsforholdene (A,B;T) = - (A,B;S)  som kan skrives som

 

hvor s  og t  er de affine parametrene for punktene T  og S. Nå er b - t = b - a - (t - a)  og b - s = b - a - (s - a)  som gir

 

I euklidsk geometri vil linjestykket AB  ha en lengde proporsjonal med parameterdifferansen b - a  og tilsvarende for de andre linjestykkene. Resultatet kan da skrives som

 

som viser at AB  er det harmoniske gjennomsnittet av linjestykkene AT  og AS. Man sier også at linjestykket AB  er harmonisk delt av punktene T  og S. Gitt A, B  og T, kan man ved en ren geometrisk konstruksjon finne punktet S  som gir en slik spesiell deling.

Se ogsåRediger

LitteraturRediger

  • A. Søgaard og R. Tambs Lyche, Matematikk for den høgre skolen, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1955).