Cauchy–Schwarz’ ulikhet

(Omdirigert fra Cauchy–Schwarz' ulikhet)

Cauchy–Schwarz’ ulikhet er en av de viktigste ulikhetene i lineær algebra. Den har sitt navn etter den franske matematikeren Augustin Louis Cauchy (1789–1857) og den tyske matematikeren Herman Amandus Schwarz (1843–1921). Trekantulikheten kan bevises ved å bruke Cauchy-Schwarz ulikhet.

Om ulikhetenRediger

For vektorer   og   i planet sier ulikheten at:

 .

Generelt gjelder: For vektorer   og   i et reelt vektorrom med indreprodukt  , eksempelvis det Euklidske n-rommet  , er

 .

Ofte blir ulikheten uttrykt ved sumoperatoren, som er ekvivalent med sistnevnte uttrykk.

 

Der elementene i følgene  og  er i den reelle tallmengden

Ulikheten ble først introdusert av Cauchy i Course d’analyse (1821), da i form av endelige summer, likt den måten ulikheten er uttrykt ved over. I 1859 viste en tidligere student av Cauchy, Bunyakovsky, ulikheten for uendelige summer, uttrykt ved integraler. Karl Schwarz gjenoppdaget Bunyakovskys arbeid i 1888, i hans arbeid med minimalflater, og uttrykte da ulikheten i form av dobbeltintegraler. Ulikheten tar også gjerne navnet Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz’ ulikhet av denne grunn.

EksemplerRediger

VinklerRediger

Ulikheten forsikrer at vinkelen mellom to vektorer, begge ulik  , er veldefinert. Denne vinkelen   er spesifisert ved

  og  .

Amplitude for svingningerRediger

Svingninger beskrives ved en funksjon  , hvor   og   er parametere. Ved å se på   og   som vektorer i planet gir Cauchy-Schwarz’ ulikhet at

 

siden  .

BevisRediger

Dersom   eller   er lik  , så er ulikheten opplagt. Anta derfor at begge vektorene er ulik  .

La   være en skalar, og se på vektoren  . Vi har

 .

Ved å multiplisere ut venstre side og betrakte den som et polynom i  , får vi

 .

Et annengradspolynom   er større enn eller lik   for alle   dersom   og diskriminanten   er mindre enn eller lik  . I vårt tilfelle fås:

 .

En rydder opp og ser at:

 .

Cauchy-Schwartz’ ulikhet fremkommer nå ved å ta kvadratrot på begge sider:

 .

ReferanserRediger


Eksterne lenkerRediger