Cauchy–Schwarz’ ulikhet

Cauchy–Schwarz’ ulikhet er en av de viktigste ulikhetene i lineær algebra. Den har sitt navn etter den franske matematikeren Augustin Louis Cauchy (1789–1857) og den tyske matematikeren Herman Amandus Schwarz (1843–1921). Trekantulikheten kan bevises ved å bruke Cauchy-Schwarz ulikhet.

Om ulikheten

For vektorer $\mathbf {u} =(u_{1},u_{2})$ og $\mathbf {v} =(v_{1},v_{2})$ i planet sier ulikheten at:

$|u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}|\leq {\sqrt {u_{1}^{2}+u_{2}^{2}}}{\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}}$.

Generelt gjelder: For vektorer $\mathbf {u}$ og $\mathbf {v}$ i et reelt vektorrom med indreprodukt $\cdot$, eksempelvis det Euklidske n-rommet $\mathbb {R} ^{n}$, er

$|\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} |\leq \|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|$.

Ofte blir ulikheten uttrykt ved sumoperatoren, som er ekvivalent med sistnevnte uttrykk.

$\left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right)\geq \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}$

Der elementene i følgende $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$og $b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}$er i den reelle tallmengden

Ulikheten ble først introdusert av Cauchy i Course d’analyse (1821), da i form av endelige summer, likt den måten ulikheten er uttrykt ved over. I 1859 viste en tidligere student av Cauchy, Bunyakovsky, ulikheten for uendelige summer, uttrykt ved integraler. Karl Schwarz gjenoppdaget Bunyakovskys arbeid i 1888, i hans arbeid med minimalflater, og uttrykte da ulikheten i form av dobbeltintegraler. Ulikheten tar også gjerne navnet Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz’ ulikhet av denne grunn.

Eksempler

Vinkler

Ulikheten forsikrer at vinkelen mellom to vektorer, begge ulik $0$, er veldefinert. Denne vinkelen $\theta$ er spesifisert ved

$\cos \theta ={\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|}}$ og $0\leq \theta \leq \pi$.

Amplitude for svingninger

Svingninger beskrives ved en funksjon $f(x)=a\cos(x)+b\sin(x)$, hvor $a$ og $b$ er parametere. Ved å se på $(a,b)$ og $(\cos(x),\sin(x))$ som vektorer i planet gir Cauchy-Schwarz’ ulikhet at

$|f(x)|=|a\cos(x)+b\sin(x)|\leq {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

siden $\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1$.

Bevis

Dersom $\mathbf {u}$ eller $\mathbf {v}$ er lik $0$, så er ulikheten opplagt. Anta derfor at begge vektorene er ulik $0$.

La $t$ være en skalar, og se på vektoren $t\mathbf {u} +\mathbf {v}$. Vi har

$(t\mathbf {u} +\mathbf {v} )\cdot (t\mathbf {u} +\mathbf {v} )\geq 0$.

Ved å multiplisere ut venstre side og betrakte den som et polynom i $t$, får vi

$\|\mathbf {u} \|^{2}t^{2}+2(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )t+\|\mathbf {v} \|^{2}\geq 0$.

Et annengradspolynom $at^{2}+bt+c$ er større enn eller lik $0$ for alle $t$ dersom $a\geq 0$ og diskriminanten $D=b^{2}-4ac$ er mindre enn eller lik $0$. I vårt tilfelle fås:

$(2(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ))^{2}-4\|\mathbf {u} \|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2}\leq 0$.

En rydder opp og ser at:

$(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2}\leq \|\mathbf {u} \|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2}$.

Cauchy-Schwartz’ ulikhet fremkommer nå ved å ta kvadratrot på begge sider:

$|\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} |\leq \|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|$.

Eksterne lenker

• Video om Cauchy–Schwarz’ ulikhet