Aritmetisk følge

(Omdirigert fra Aritmetisk rekke)

En aritmetisk følge er en følge der differansen mellom et tall og det neste er konstant. For eksempel er {4,7,10,13,16,…} en aritmetisk følge siden differansen mellom to etterfølgende tall alltid er 3. Hvis differansen er gitt, og man i tillegg kjenner verdien av det første tallet, , er følgen entydig bestemt, og det -te tallet er gitt ved

Summen av elementene i en aritmetisk følge (aritmetisk rekke)Rediger

Hvis man lar   være summen av de   første tallene i følgen, danner   en aritmetisk rekke. Gitt en aritmetisk følge hvor   og   er kjent, finnes det en enkel formel for summen av elementene, nemlig

 

En versjon av denne formelen forekommer i Liber Abaci (1202) av Leonardo av Pisa.

For å utlede denne formelen, legger vi merke til at   kan uttrykkes på to forskjellige måter:

 
 

Summerer vi begge sidene av disse ligningene, vil alle summandene som inneholder   kanselleres, og vi sitter igjen med

 

Bruker vi formelen for  , som er gitt ovenfor, følger formelen for  .

Aritmetiske følger i Ramsey-teoriRediger

Flere problemer i Ramsey-teori handler om aritmetiske følger. En generell formulering er at en mengde   med naturlige tall er gitt, og problemet er å finne ut hvor lange aritmetiske følger som er inneholdt i  .

La   være et naturlig tall, og anta at man fargelegger alle tallene fra 1 til   med   farger, slik at hvert tall får én farge. Van der Waerdens teorem fra 1927 sier at hvis   og   er gitt, så kan   alltid velges så stor at det helt sikkert finnes en aritmetisk følge med   elementer, slik at alle elementene i følgen har samme farge. En slik følge kalles monokromatisk.

En ekvivalent formulering av dette teoremet sier at hvis man fargelegger alle de naturlige tallene med   farger, så vil det finnes vilkårlig lange monokromatiske følger.

I 1975 beviste Szemerédi en generalisering av dette teoremet, som er kjent som Szemerédis teorem. Han viste at for enhver tetthet  , hvor  , og ethvert naturlig tall  , så finnes et tall   slik at hvis  , så vil enhver delmengde av   med minst   elementer inneholde en aritmetisk følge av lengde  .

Mer generelt   være en delmengde av de naturlige tallene. Et problem som har fått en del opperksomhet er spørsmålet om hvilke karakteristikker av   som garanterer at   inneholder vilkårlig lange aritmetiske følger. Szemerédis teorem garanterer at det er tilstrekkelig at   har såkalt positiv øvre tetthet. En berømt formodning er Erdős’ formodning som sier at hvis summen av inversene til elementene i   divergerer, så vil   inneholde vilkårlig lange aritmetiske følger. Erdős har tilbudt 3000 dollar for løsningen av denne formodningen. Green–Taos teorem fra 2004 sier at primtallene inneholder vilkårlig lange aritmetiske følger. Siden summen av inversene til primtallene divergerer, er dette teoremet et spesialtilfelle av Erdős’ formodning.