Schwarzschilds løsning

Schwarzschilds løsning betegner en løsning av Albert Einsteins feltligninger i den generelle relativitetsteorien, først oppdaget av Karl Schwarzschild. Det finnes to typer av Schwarzschilds løsning, én som beskriver tidrommet utenfor en statisk, sfærisk-symmetrisk massefordeling, den såkalte ytre løsningen eller vakuumløsningen, og en indre løsning som beskriver gravitasjonsfeltet innenfor en tilsvarende inkompressibel massefordeling.

Schwarzschilds ytre løsning

Schwarzschilds ytre løsning er en eksakt løsning av feltligningene på formen

$G_{\mu \nu }=0\,$

med et linjeelement på formen

$ds^{2}=-e^{2\alpha (r)}c^{2}dt^{2}+e^{2\beta (r)}dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\,$

som utgangspunkt. Løsningen til en massefordeling med masse M blir da

$ds^{2}=-c^{2}\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)dt^{2}+{\frac {dr^{2}}{1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}}}+r^{2}d\Omega ^{2}\,$

hvor $d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\,$.

I disse koordinatene (Schwarzschild-koordinater) har løsningen en koordinatsingularitet i

$r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}$

som kalles Schwarzschild-radien og definerer hendelseshorisonten til en massefordeling. Dersom utstrekningen til en massefordeling er mindre enn denne radien, sier man at den har kollapset til et sort hull.

Singulariteter og analytisk forlengelse

Fra linjeelementet i Schwarzschildkoordinater har vi to singulariteter, Schwarzschildradien og r = 0. Fra Kretschmanns krumningsskalar ser vi at det er kun singulariteten i origo som er en fysisk singularitet:

$R_{\mu \nu \alpha \beta }R^{\mu \nu \alpha \beta }={\frac {48G^{2}M^{2}}{r^{8}}}\,$

Schwarzschild-koordinatene er medbevegende med et statisk referansesystem utenfor en massefordeling. Dersom massefordelingen har kollapset til et sort hull kan vi ikke ha et statisk observatør innenfor hendelseshorisonten i en endelig avstand fra origo. Schwarzschild-koordinatene er ikke veldefinert innenfor hendelseshorisonten. Man kan da ta i bruk nye koordinater introdusert av Kruskal og Szekeres. Med disse koordinatene er linjeelementet gitt som

$ds^{2}=-{\frac {4r_{s}^{3}}{r}}e^{-{\frac {r}{r_{s}}}}dUdV+r^{2}d\Omega ^{2}\,$

hvor $r_{s}$ er Schwarzschildradien og

$U=-e^{-{\frac {u}{2r_{s}}}},\qquad V=e^{\frac {v}{2r_{s}}}\,$

$u=t-r^{*},\qquad v=t+r^{*}\,$

$r^{*}=r+r_{s}\ln \left|{\frac {r}{r_{s}}}-1\right|\,$

Dette er den første formen av Kruskal-Szekeres-linjelementet. Ved å innføre koordinatene

$T={\frac {1}{2}}(V+U),\qquad Z={\frac {1}{2}}(V-U)$

får vi andre form av Kruskal-Szekeres-linjeelementet

$ds^{2}=-{\frac {4r_{s}}{r}}e^{-{\frac {r}{r_{s}}}}(dT^{2}-dZ^{2})+r^{2}d\Omega ^{2}\,$