Roterende referansesystem

Et roterende referansesystem er et referansesystem som roterer relativt til et treghetssystem. Et dagligdags eksempel er overflaten på jorden.

Fiktive krefter

Alle ikke-treghetssystemer innehar fiktive krefter. Roterende referansesystemer karakteriseres av tre fiktive krefter:

• sentrifugalkraft
• corioliskraft

og for ikke-uniforme roterende referansesystem

• eulerkraft

Forskere på et slikt roterende referansesystem kan måle farten og retningen til rotasjonen sin ved å måle disse fiktive kreftene. For eksempel kunne Léon Foucault vise corioliskraften som kommer av jordrotasjonen ved å bruke Foucaults pendel. Dersom jorden plutselig begynte å rotere tusen ganger raskere (slik at hver dag bare ble ca. 86 sekunder lang), ville folk lett ha merket de fiktive kreftene som drar i dem, akkurat som på en roterende karusell.

Forhold mellom posisjoner i to referansesystem

For å utlede disse fiktive kreftene er det lurt å kunne transformere ligningene mellom koordinatene $\left(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }\right)$ i det roterende referansesystemet og koordinatene $\left(x,y,z\right)$ i et treghetssystem med samme opphav. Dersom rotasjonen er om $z$-aksen med vinkelfarten $\omega$ og de to referansesystemene samsvarer ved tiden $t=0$, så kan transformasjonen fra de roterende koordinatene til treghetskoordinatene skrives:

$x=x^{\prime }\ \cos \omega t+y^{\prime }\ \sin \omega t$

$y=y^{\prime }\ \cos \omega t-x^{\prime }\ \sin \omega t$

og den reverse transformasjonen er

$x^{\prime }=x\ \cos \left(-\omega t\right)-y\ \sin \left(-\omega t\right)$

$y^{\prime }=y\ \cos \left(-\omega t\right)+x\ \sin \left(-\omega t\right)$

Dette resultatet får man ved å bruke en rotasjonsmatrise.

Generell utledning i et roterende referansesystem

Dersom man har enhetsvektorene $i,j,k$ til å representere de tredimensjonale vektorene, kan vi la disse rotere fordi de vil bli værende normalisert. Dersom vi lar de rotere med farten $\omega$ så blir hver enhetsvektor styrt av ligningen:

${\frac {dl}{dt}}=\omega \times l$,

der $l=\{i,j,k\}$. Så om vi da har en funksjon , $f(t)=f_{x}(t)i+f_{y}(t)j+f_{z}(t)k$ og vi vil utforske den førstederiverte, har vi:

${\frac {df}{dt}}={\frac {df_{x}}{dt}}i+{\frac {di}{dt}}f_{x}+{\frac {df_{y}}{dt}}j+{\frac {dj}{dt}}f_{y}+{\frac {df_{z}}{dt}}k+{\frac {dk}{dt}}f_{z}$

${\frac {df}{dt}}={\frac {df_{x}}{dt}}i+{\frac {df_{y}}{dt}}j+{\frac {df_{z}}{dt}}k+[\omega \times (f_{x}i+f_{y}j+f_{z}k)]$

${\frac {\delta f}{\delta t}}+\omega \times f(t)$

Der ${\frac {\delta }{\delta t}}$ er endringsraten med hensyn på det roterende koordinatsystemet. Det vil si at dersom $f(t)$ roterer med samme fart som enhetsvektorene ($\omega$) så er ${\frac {\delta f}{\delta t}}=0$.

Forhold mellom raskhet i de to referansesystemene

Raskheten til et legeme er den tidsderiverte av posisjonen til lekamet eller

$\mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}$

Den tidsderiverte til posisjonen i et roterende referansesystem har to komponenter, en fra den tidsderiverte i treghetssystemet, og en annen fra sin egen rotasjon. Forholdet mellom disse har mani ligningen

$\left({\frac {d}{dt}}\right)_{\mathrm {treghet} }=\left({\frac {d}{dt}}\right)_{\mathrm {roterende} }+{\boldsymbol {\omega }}\times$

der vektoren ${\boldsymbol {\omega }}$ peker i samme retning som rotasjonsaksen med samme størrelse som vinkelfarten. Derfor er forholdet mellom raskheten i de to referansesystema:

$\mathbf {v} _{\mathrm {treghet} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)_{\mathrm {treghet} }=\left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)_{\mathrm {roterende} }+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} =\mathbf {v} _{\mathrm {roterende} }+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}$

Bevis for ligningen

La oss tenke oss en vektor a_treghet i treghetssystemet, og a_roterende er den samme vektoren i det roterende referansesystemet. P_t er posisjonen til vektoren a ved tiden t i treghetssystemet, Q er et punkt som har samme startposisjon som P₀ (Q₀ = P₀) og roterer i forhold til treghetssystemet som om det var stasjonært på det roterende systemet. .

Etter svært kort tid δ t, har vi at vektoren Q₀ Q_{δ t} er

${\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a} _{\mathrm {treghet} }\cdot \delta t$

ved å bruke noen enkle vektoroperasjoner har vi

${\overline {P_{0}P_{\delta t}}}=\mathbf {a} _{\mathrm {treghet} }={\overline {P_{0}Q_{\delta t}}}+{\overline {Q_{\delta t}P_{\delta t}}}={\overline {Q_{0}Q_{\delta t}}}+{\overline {Q_{\delta t}P_{\delta t}}}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a} _{\mathrm {treghet} }\cdot \delta t+\mathbf {a} _{\mathrm {rotasjon} }$

deriverer vi på tid får vi

$\mathbf {\dot {a}} _{\mathrm {treghet} }={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a} _{\mathrm {treghet} }+\mathbf {\dot {a}} _{\mathrm {rotasjon} }$

og ser at

${\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a} _{\mathrm {rotasjon} }={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a} _{\mathrm {treghet} }$

Forhold mellom akselerasjon i de to systemene

Akselerasjon er den andre tidsderiverte av posisjon, eller den første tidsderiverte av raskhet

$\mathbf {a} _{\mathrm {treghet} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}\right)_{\mathrm {treghet} }=\left({\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\right)_{\mathrm {treghet} }=\left[\left({\frac {d}{dt}}\right)_{\mathrm {rotasjon} }+{\boldsymbol {\omega }}\times \right]\left[\left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)_{\mathrm {rotasjon} }+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \right]$

Ved å utføre deriveringen og omarrangere noen av leddene får man akselerasjonen i det roterende referansesystemet

$\mathbf {a} _{\mathrm {rotasjon} }=\mathbf {a} _{\mathrm {treghet} }-2{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {rotasjon} }-{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )-{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}\times \mathbf {r}$

der $\mathbf {a} _{\mathrm {rotasjon} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}\right)_{\mathrm {rotasjon} }$ er den tilsynelatende akselerasjonen i det roterende referansesystemet.

De tre leddene på høyre side kommer av de fiktive kreftene i et roterende referansesystem. Ved å bruke Newton sin andre bevegelseslov $F=ma$, får vi

• corioliskraft en

$\mathbf {F} _{\mathrm {Coriolis} }=-2m{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {rotasjon} }$

• sentrifugalkraften

$\mathbf {F} _{\mathrm {sentrifugal} }=-m{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )$

• eulerkraften

$\mathbf {F} _{\mathrm {Euler} }=-m{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}\times \mathbf {r}$

der $m$ er massen til legemet disse tre fiktive kreftene virker på.

Treghetsakslerasjonen $\mathbf {a} _{\mathrm {tregleik} }$ kan man finne ut fra den totale fysiske kraften $\mathbf {F} _{\mathrm {tot} }$ (for eksempel den totale kraften fra fysiske vekselvirkninger som elektromagnetisme) og bruke Newton sin andre bevegelseslov.

$\mathbf {F} _{\mathrm {tot} }=m\mathbf {a} _{\mathrm {inertial} }$