Omegn (matematikk)

En omegn om et element i en mengde er i matematikk en delmengde som i en viss forstand ligger nær elementet. Uformelt kan en si at omegnen inneholder elementer i mengden som er naboer til elementet. Elementet selv er vanligvis med i omegnen, men mengden kalles en punktert omegn dersom elementet ikke er med.

En mengde V i planet med en omegn om punktet p.

I en formell matematisk definisjon vil en være avhengig av å presisere hva en mener med «nær» eller «nabo». Dette lar seg gjøre i et metrisk rom, der en har definert et avstandsmål, en metrikk. Omegn er også et sentralt begrep i topologi. Begrepet omegn er nært knyttet til åpne mengder.

Formell definisjon i et metrisk rom

En $\epsilon$-omegn til et element p i et metrisk rom (V,d) er definert som en mengde

$\{x\in V|\ d(x,p)<\epsilon \}\,$

En punktert $\epsilon$-omegn er definert tilsvarende ved å ekskludere elementet a :

$\{x\in V|\ 0<d(x,p)<\epsilon \}\,$

En omegn i et metrisk rom kalles også for en åpen ball eller en åpen kule.

Formell definisjon i et topologisk rom

En omegn om et element p i et topologisk rom V er en mengde W som inneholder en åpen mengde som igjen inneholder elementet:

$\displaystyle p\in U\subseteq W$.

Omegnen trenger ikke selv være en åpen mengde.