Klassisk elektronradius

Klassisk elektronradius er en lengde som en gang var ment å angi størrelsen av et elektron. Begrepet stammer fra tiden før kvantemekanikken var utviklet da man prøvde å forklare dets egenskaper ved bruk av klassisk fysikk. Fra eksperimenter og målinger ved de høyeste energier er det ennå ikke påvist at elektronet har noen endelig utstrekning. Det omtales derfor i dag som en punktpartikkel på samme måte som de andre elementærpartiklene i Standardmodellen.

Den klassiske radius til et elektron er definert som

$r_{0}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{m_{\mathrm {e} }c^{2}}}=2,8179403267(27)\times 10^{-15}\mathrm {m}$

hvor m_e  er dets masse, e dets ladning, c er lyshastigheten og 1/4π ε₀  er Coulombs konstant. Dette kan sammenlignes med den målte radius til et proton som er omtrent 0.85×10^-15 m, litt avhengig av hvordan den blir definert.

Begrunnelse

Energien til et elektron som ligger i ro, er Ifølge masseenergiloven til Einstein m_ec². Man kan nå for eksempel gjøre den antagelsen at denne energien skyldes det elektriske feltet utenfor elektronet hvor ladninegn ligger på dets overflate. I avstand r  fra sentrum er dette E = e/4πε₀r. Fra den elektriske energitettheten ε₀E²/2  følger dermed den totale feltenergien som

$U_{E}={\varepsilon _{0} \over 2}\int _{r_{0}}^{\infty }\left({e \over 4\pi \varepsilon _{0}r}\right)^{2}4\pi r^{2}dr={1 \over 2}{e^{2} \over 4\pi \varepsilon _{0}r_{0}}$

Man kunne i stedet gjort antagelsen om at ladningen er jevnt fordelt i elektronets indre. Da får man et tilsvarende bidrag til feltenergien fra området innenfor overflaten. Dette resulterer i at koeffisienten i svaret forandres fra 1/2 til 3/5. Men da dette bare er antagelser uten noen god begrunnelse, setter man i definisjonen ganske enkelt at koeffisienten er lik 1. Det gir m_ec² = e²/4πε₀r₀  som resulterer i uttrykket over for den klassiske elektronradiusen.

Det er kanskje overraskende at denne elektronradiusen har en størrelse som er omtrent tre ganger større enn for et proton. Et proton har en masse som er 1836 ganger større enn elektronmassen, og man ville derfor naivt sett forvente at et elektron var mye mindre enn protonet. Men det viser bare at de klassiske antagelsene som ligger bak denne definisjonen for elektronets radius, ikke er korrekte.

Andre fundamentale lengder

Elektronet har også en Compton-bølgelengde λ_C = h/m_e som er ca. 2,43×10^-12 m. Ved å innføre finstrukturkonstanten

$\alpha ={e^{2} \over 4\pi \varepsilon _{0}\hbar c}=7,2973525698(24)\times 10^{-3}$

hvor den numeriske verdien tilsvarer at α^-1 = 137,036 med stor nøyaktighet, ser man at elektronets klassiske radius er ganske nøyaktig 137 ganger mindre enn dets reduserte Compton-bølgelengden λ_e = ħ/m_ec  hvor ħ = h/2π  er den reduserte Plancks konstant. Denne bølgelengden er også relaterte til den kvantemekaniske radius av hydrogenatomet i sin grunntilstand. Denne har fått navnet Bohr-radius og er a₀ = ħ/αm_ec  og derfor 137 ganger større enn den reduserte Compton-bølgelengden.