Imaginær enhet

I matematikk er den imaginære enhet $i$ et komplekst tall med egenskapen $i^{2}=-1$. Navnet er gitt fordi ethvert komplekst tall $z$ kan skrives på formen $z=a+bi$, der $a$ og $b$ er reelle tall. Dersom $a$ er lik null sies det komplekse tallet å være rent imaginært

Komplekse tall er viktige i mange deler av matematisk analyse, og den imaginære enheten opptrer hyppig i matematiske formler. Et viktig eksempel er Eulers formel, med spesialtilfellet Eulers likhet.

Historisk var innføringen av komplekse tall motivert av studiet av polynomligninger. Den imaginære enhet er en rot i andregradsligningen $x^{2}=-1$.

i og −i

Likningen $x^{2}=-1$ har to distinkte løsninger som er additive inverse. Når en løsning $i$ av likningen er fastslått, er også $-i\,(\neq i)$ en løsning.

Den mest presise forklaringen er å si at selv om det komplekse feltet definert ved $\mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)$ er unikt opp til isomorfisme, er det ikke unikt opp til en unik isomorfisme — det er nøyaktig 2 feltautomorfismer fra $\mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)$, identiteten og automorfismen som sender $X$ til $-X$. (Det må bemerkes her at dette ikke er de eneste automorfismene til $\mathbb {C}$; men de er de eneste feltautomorfismene til $\mathbb {C}$ hvor den reelle del er fast.)

Et liknende problem oppstår hvis de komplekse tall fortolkes som reelle 2 × 2-matriser, fordi både ${\begin{pmatrix}0&-1\\1&\;\;0\end{pmatrix}}{\mbox{ og }}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&\;\;0\end{pmatrix}}$ er løsninger av likningen $x^{2}=-1$. I dette tilfelle kommer de tvetydige resultatene fra det geometriske valg av hvilken «retning» rundt enhetssirkelen som er «positiv». En mer presis forklaring er å si at automorfismegruppen til den spesielle ortogonale gruppen $\mathrm {SO} (2,\mathbb {R} )$ har nøyaktig to elementer — identiteten og automorfismen som bytter om «med klokken»- og «mot klokken»-rotasjoner.

Mulige falske løsninger

Den imaginære enhet noteres eller behandles ikke som ${\sqrt {-1}}$. Denne notasjonen er reservert enten den prinsipale kvadratrotfunksjonen, som bare defineres for reelle $x>0$, eller for den prinsipale grenen av den komplekse kvadratrotfunksjonen. Å forsøke å anvende beregningsregler for den prinsipale (reelle) kvadratrotfunksjonen for å håndtere den prinsipale gren av den komplekse kvadratrotfunksjonen vil frembringe falske løsninger:

$-1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {-1\cdot -1}}={\sqrt {1}}=1$

Beregningsreglen

${\sqrt {a\cdot b}}={\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}$ er bare gyldig for de reelle, ikke-negative tall $a$ og $b$.

Potenser av i

Potensene av $i$ gjentas i en syklus:

$i^{1}=i$

$i^{2}=-1$

$i^{3}=-i$

$i^{4}=1$

$i^{5}=i$

$i^{6}=-1$

Dette kan uttrykkes med følgende mønster hvor $n$ er et vilkårlig heltall:

$i^{4n}=1$

$i^{4n+1}=i$

$i^{4n+2}=-1$

$i^{4n+3}=-i$

i og Eulers formel

Hvis man tar Eulers formel $e^{ix}=\cos x+i\sin x$, og setter inn $x=\pi /2$, får man

$e^{i\pi /2}=i$

Hvis begge sider opphøyes i potensen $i$, idet man husker at $i^{2}=-1$, får man følgende identitet:

$i^{i}=e^{-\pi /2}=0{,}2078795763\dots$

Det er lett å fastslå at $i^{i}$ har et uendelig antall løsninger på formen

$i^{i}=e^{-\pi /2+2\pi N}$

hvor $N$ er et vilkårlig heltall.

Alternativt symbol

I elektrofag og beslektete områder blir den imaginære enhet ofte skrevet som $j$ for å unngå sammenblanding med betegnelsen for elektrisk vekselstrøm.