Hölder-kontinuitet

Hölder-kontinuitet angir en form for kontinuitet innen matematisk analyse, strengere enn uniform kontinutitet og gir en begrensning på hvor raskt en funksjon kan endre seg. Hölder-kontinuitet kan sees på som en generalisering av Lipschitz-kontinuitet; mens Lipschitz-kontinuitet gir en lineær begrensning, gir Hölder-kontinuitet en eksponensiell begrensning. En funksjon sies å være Hölder-kontinuerlig dersom det finnes to reelle tall C (større eller lik 0) og $\gamma$ (større enn 0) slik at for hvert par (x, y) i funksjonens definisjonsmengde, er absoluttverdien av forskjellen mellom avbildningen av disse, opphøyd i $\gamma$ og ganget med C, større enn absoluttverdien mellom punktene x og y. Begrepet er oppkalt etter den tyske matematikeren Otto Hölder.

En funksjon som er Hölder-kontinuerlig med eksponent $\gamma =1$ er Lipschitz-kontinuerlig. Hvis $\gamma >1$ er funksjonen konstant. Alle Hölder-kontinuerlige funksjoner er også uniformt kontinuerlige, og dermed også kontinuerlige; det motsatte er ikke alltid sant.

Funksjoner som i seg selv og i sine partiell-deriverte er Hölder-kontinuerlige, hvis norm er endelig, sies å tilhøre et Hölder-rom.

Definisjon

En funksjon $f:X\to Y$, der X og Y er delmengder av de relle tallene, sies å være Hölder-kontinuerlig (med eksponent $\gamma$) dersom det finnes en konstant $C\geq 0$ og en konstant $\gamma >0$ slik at

$|f(x)-f(y)|\leq C|x-y|^{\gamma }$

Dette gjelder også i andre metriske rom enn de reelle tallene. Gitt to metriske rom $(X,d_{X})$ og $(Y,d_{Y})$, der $d_{X}$ og $d_{Y}$ angir metrikkene på henholdsvis mengdene X og Y, sier man at en funksjon $f:X\to Y$ Hölder-kontinuerlig (med eksponent $\gamma$) dersom det finnes en konstant C slik at

$d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Cd_{X}(x_{1},x_{2})^{\gamma }$

Eksempler

Funksjoner som er Hölder-kontinuerlige

• Alle Lipschitz-kontinuerlige funksjoner er også Hölder-kontinuerlige. Dette gjelder f.eks. alle lineære funksjoner $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, siden

$|f(x)-f(y)|=|(ax+b)-(ay+b)|=|a||x-y|\qquad \Rightarrow \qquad |f(x)-f(y)|\leq |a||x-y|$ der $C=|a|$ og $\gamma =1$

• Funksjonen $f(x)={\sqrt {(}}x)$ er ikke Lipschitz-kontinuerlig over $(0,\infty )$, men den er Hölder-kontinuerlig med konstant $C=1$ og eksponent $\gamma =1/2$:

$|f(x)-f(y)|=|{\sqrt {x}}-{\sqrt {y}}|$

Anta $x>y$, da får vi

$|{\sqrt {x}}-{\sqrt {y}}|={\frac {({\sqrt {x}}-{\sqrt {y}})({\sqrt {x}}+{\sqrt {y}})}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}}}={\frac {x-y}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}}}={\Big (}{\frac {\sqrt {x-y}}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}}}{\Big )}|x-y|^{1/2}\leq {\Big (}{\frac {\sqrt {x}}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}}}{\Big )}|x-y|^{1/2}\leq 1|x-y|^{1/2}$

Eksterne lenker

• (en) Stover, Christopher og Weisstein, Eric W., Hölder condition i MathWorld.
• Hölder condition på Encyclopedia of Math