Fullstendig firkant

En fullstendig firkant er en generalisert firkant som er gitt ved fire linjer i et plan hvorav ikke mer enn to skjærer hverandre i samme punkt og ingen er parallelle.

En fullstendig firkant beskrives ved fire linjer a, b, c og d som skjærer hverandre i seks punkt. De røde linjene er tre diagonaler som danner en trekant.

I en vanlig, konveks firkant er sidekantene endelige linjestykker som skjærer hverandre i fire hjørner. Den kan derfor også sies å være et kvadrangel. Derimot er sidene i en utvidet firkant uendelige linjer. Disse skjærer hverandre i seks punkt som dermed er antall hjørner i en fullstendig firkant. På hver linje ligger det da tre hjørner eller punkt, mens det gjennom hvert hjørne går to linjer.

På lignende måte kan man definere et fullstendig kvadrangel ved fire punkt hvorav ikke mer enn to ligger på samme linje. Gjennom disse punktene kan trekkes i alt seks linjer slik at det på hver av dem ligger to punkt og det går tre linjer gjennom hvert punkt.

En fullstendig firkant sies å være dual  til et fullstendig kvadrangel da deres egenskaper går over i hverandre ved å bytte om punkt og linjer. Med denne definisjonen er en trekant selvdual da den består av tre punkt og tre linjer på en slik måte at det er to punkt på hver linje og to linjer gjennom hvert punkt. Under denne duale transformasjonen kan en si at en trekant går over til et triangel som er samme figur.

Fullstendige firkanter og kvadrangel spiller en viktig rolle projektiv geometri og ved konstruksjon av pol og polare. Dette kan føres tilbake til at deres egenskaper gjør det mulig å foreta en harmonisk deling av et linjestykke kun ved bruk av en linjal.

Egenskaper

Hjørnene i en mangekant kan defineres som skjæringspunktene mellom dens sidekanter. Derfor har en trekant alltid tre hjørner. Så lenge sidekantene er linjestykket med endelig lengde, vil en generell mangekant ha like mange hjørner som sidekanter. Men hvis derimot sidekantene tillates å være rette linjer med uendelig utstrekning, vil det kunne oppstå flere skjæringspunkt og mangekanten kan sies å ha flere hjørner. På denne måten får en fullstendig firkant generelt seks hjørner.

Hvis to av sidekantene i en fullstendig firkant er parallelle, har den bare fem hjørner ved at det sjette er forsvunnet i det uendelige. I det mest spesielle tilfellet er også de to andre sidene parallelle, og firkanten blir et parallellogram med fire hjørner i den endelige delen av planet.

En diagonal fra et hjørne i en mangekant er en linje som forbinder hjørnet med et annet hjørne som det ikke deler en sidekant med. Derfor har en trekant ingen diagonaler. Derimot vil en fullstendig firkant generelt ha tre diagonaler. For et parallellogram er den tredje en linje som ligger uendelig langt borte.

Harmonisk deling

En fullstendig firkant med seks hjørner ABKLMN og tre diagonaler AB, KL og MN.

Et viktig teorem i projektiv geometri er at at hver diagonal blir delt harmonisk av de to andre diagonalene i en fullstendig firkant. Hvis dens seks hjørner betegnes med ABKLMN vil for eksempel diagonalen mellom A og B deles harmonisk av de to skjæringspunktene C og D som fremkommer som skjæringspunkt med de to andre diagonalene. De forskjellige linjestykkene på denne linjen vil da forholde seg til hverandre som

${AD \over BD}={AC \over BC}$

når man ser bort fra retningene til linjestykkene. Dette kan bevises på forskjellige måter. Man kan for eksempel gjøre bruk av dobbeltforholdet til de fire punktene A, B, C og D. Alternativt kan kan mer analytisk benytte projektive koordinater basert på en referansetrekant i firkanten.

Man kan komme frem til samme resultat på en mindre abstrakt måte ved å benytte teoremene til Menelaos og Ceva. Trekanten ABM skjæres av diagonalen KL. Menelaos' teorem sier dermed at

${LM \over LA}\cdot {BK \over MK}\cdot {AD \over BD}=1$

I tillegg kan punktet N brukes i Cevas setning for den samme trekanten ABM da det inneholder linjer fra alle hjørnene i trekanten. Derfor har man også

${LM \over LA}\cdot {BK \over MK}\cdot {AC \over BC}=1$

Halveringspunktene L, M og N  til de tre diagonalene EF, AC og BD (røde) i den fullstendig firkanten ABCDEF ligger på Newtons linje (grønn).

når man igjen ser bort fra fortegnene til linjestykkene. Ved å kombinere disse to resultatene, har man dermed beviset for den harmoniske delingen.

Det er denne harmoniske sammenhengen mellom punktene på en diagonal i en fullstendig firkant som gir den en sentral rolle i teorien for pol og polare til generelle kjeglesnitt.

Newtons linje

I affin geometri og dermed også i euklidsk geometri er midtpunktet til et linjestykke veldefinert og kan konstrueres. Hvis diagonalene i en fullstendig firkant halveres på denne måten, vil de tre midtpunktene ligge på en rett linje som bærer Newtons navn.

Fra utledningen som Newton ga av Keplers første lov om planetenes elliptiske baner, er det klart at han hadde en meget god innsikt i geometrien til kjeglesnittene. Det er derfor ikke overraskende at han i denne sammenhengen også oppdaget at når det innskrives en slik kurve i en vanlig firkant, så ligger kjeglesnittets senter på linjen som går gjennom halveringspunktene til de to diagonalene. I det spesielle tilfellet at firkanten omskriver en sirkel, kan dette lett bevises.

Litteratur

• H.S.M. Coxeter and S.L. Greitzer, Geometry Revisited, Mathematical Association of America, Washington, DC (1967). ISBN 0-8838-5619-0.
• R.A. Johnson, Modern Geometry, Houghton-Mifflin, Boston (1929) og i nyere utgave som Advanced Euclidean Geometry, Dover Books, New York (2007). ISBN 978-0-486-46237-0.

Eksterne lenker

• A. Bogomolny, Complete Quadrilateral, Cut-the-Knot, geometriske websider.
• E. Weisstein, Complete Quadrilateral, Wolfram MathWorld.
• Geometrikon, Newton's Theorem, med enkelt bevis basert på Menelaos' teorem.