Episykloide

Episykloide er en kurve som blir tegnet av et punkt på en sirkel som ruller på en annen sirkel som ligger fast. Hvis den bevegelige sirkelen ruller på innsiden av den faste sirkelen, beskriver det bevegte punktet en hyposykloide.

Episykloiden for R = 3 og r = 1 slik at R/r = 3.

I grensen hvor den faste sirkelen blir veldig stor, vil den rullende sirkelen bevege seg på en rett linje og både episykloiden og hyposykloiden går over til å bli sykloider.

Sirkelen som roterer langs en annen sirkel, ble benyttet i gresk astronomi til å forklare planetenes bevegelse omkring Jorden i det geosentriske verdensbildet. Den blir da omtalt som en episykel og må ikke forveksles med en episykloide. Hvis både planeten og Jorden gikk rundt Solen langs sirkler i samme plan, ville den observerte banen til planeten ha vært en epitrokoide.

Matematisk beskrivelse

sketch for proof fra russisk versjon

Bevegelsen til den rullende sirkelen er enklest å beskrive i et kartesisk koordinatsystem hvor x-aksen er horisontal og y-aksen står vertikalt på denne. Den faste sirkelen med radius R  har sitt senter i origo, mens den mindre sirkelen med radius r ruller på denne motsatt motsatt en klokkeviser.

Et visst punkt P på den lille sirkelen er opprinnelig på x-aksen i punktet (R, 0), mens senteret til denne sirkelen er i (R + r, 0). Etter en rotasjon θ om origo befinner dette seg i et nytt punkt med x-koordinat (R + r )cosθ, mens y-koordinaten er økt til (R + r )sinθ. Dette skjer ved at den lille sirkelen roterer en vinkel α slik at buelengdene ℓ_r = rα og ℓ_R = Rθ forblir de samme da rullingen antas å skje uten glidning. Fra ℓ_r = ℓ_R følger da sammenhengen

$\alpha ={R \over r}\theta$

mellom disse to vinklene.

Punktet P har nå x-koordinat (R + r )cosθ - r cos(θ + α), mens y-koordinaten har økt til (R + r )sinθ - r sin(θ + α). Uttrykkes her vinkelen α ved θ, har man parameterfremstillingen

${\begin{aligned}x(\theta )&=r(1+R/r)\cos \theta -r\cos(1+R/r)\theta \\y(\theta )&=r(1+R/r)\sin \theta -r\sin(1+R/r)\theta \end{aligned}}$

av episykloiden. Her er koordinatene valgt slik at den har en spiss for θ = 0 der avstanden fra origo til det rullende punktet er R.

Når forholdet k = R/r er et heltall, vil kurven være lukket og ha k spisser. Den vil også være lukket med et visst antall spisser når k er et rasjonalt tall. Derimot vil ikke punktet P komme tilbake til utgangspunktet når denne parameteren er irrasjonal, og kurven vil fylle en del av hele planet.

Både evoluten og evolventene til episykloiden kan beregnes. De er nye episykloider, men dreidd i forhold til den opprinnelige..

Noen eksempler

• 
  k = 1, kardioide
• 
  k = 2, nefroide
• 
  k = 3
• 
  k = 4
• 
  k = 11/2

Den enkleste episykloiden finner man for k = 1 hvor den rullende sirkelen har samme radius som den stasjonære. Dette er kardioiden eller hjertekurven med en spiss. Når k = 2, har den to spisser og kalles for en nefroide eller nyrekurve da formen ligner på en nyre. Deler av begge disse kurvene kan observeres i forskjellige brennflater som kan fremkomme som optiske effekter ved fokusering av lys.

Buelengder

På samme måte som for vanlige sykloider kan arealet og buelengden til en episykloide beregnes eksakt. Denne er gitt ved

$s(\theta )=\int _{\theta _{0}}^{\theta }\!{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}d\theta$

hvor de deriverte x'  = dx/dθ og y'  = dy/dθ. Velges θ₀ = 0, blir denne målt fra en spiss til kurven. Ved bruk av trigonometriske identiteter kan kvadratene av de to deriverte kombineres og gir

${\begin{aligned}s(\theta )&=2r(1+k)\int _{0}^{\theta }\!d\theta \sin {k\theta \over 2}\\&=8r{\big (}1+{1 \over k}{\big )}\sin ^{2}\!{k\theta \over 4}\end{aligned}}$

Da hver bue til kurven strekker seg over et vinkelintervall på 2π /k, vil lengden av en bue mellom to nabospisser dermed være

$s_{0}=8r{\big (}1+{1 \over k}{\big )}$

Hele episykloiden består av k slike like lange buer. Dens totale buelengde blir derfor 8r(k + 1).

Kompleks beskrivelse

Hvert punkt på en sirkel med radius r og med kartesiske koordinater x = r cosθ, y = r sinθ tilsvarer et punkt z = x + iy i det komplekse planet. Ved bruk av Eulers formel

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

kan dette skrives som z = re^iθ. Hvis vinkelen θ øker jevnt med tiden t, kan man skrive θ = ωt der ω er vinkelhastigheten.

Et punkt (x(θ), y(θ)) på den rullende sirkelen kan nå beskrives ved den komplekse koordinaten z(θ) = x(θ) + iy(θ) som blir

$z(\theta )=(R+r)e^{i\theta }-re^{i(1+R/r)\theta }$

Det første leddet her representerer senteret til den rullende sirkelen. I forhold til dette bevegelige senteret har punktet P fått den komplekse koordinaten re^iφ hvor vinkelen φ = π + α + θ der α + θ = (1 + R/r)θ. Minustegnet foran dette andre leddet skyldes at e^iπ = - 1 som er Eulers likhet.

Eksterne lenker

• E. Weisstein, Evolute of Epicycloid, Wolfram MathWorld