Berry–Esseens teorem

Berry–Esseens teorem er et teorem i matematikk som gir en øvre grense for konvergenshastigheten i sentralgrenseteoremet. Teoremet ble bevist uavhengig av hverandre av Andrew C. Berry i 1941 og Carl-Gustav Esseen i 1942.

Ettersom teoremet ble bevist av to forskjellige matematikere, og deretter ble videreutviklet både av disse og andre, finnes det flere forskjellige formuleringer. En versjon er som følger:

La $X_{1},X_{2},\ldots$ være uavhengige stokastiske variabler med samme sannsynlighetsfordeling, og anta at $\mathbb {E} [X_{1}]=0$, at $\mathbb {E} [X_{1}^{2}]=\sigma ^{2}>0$ og at $\mathbb {E} [|X_{1}|^{3}]=\rho <\infty$. La videre

$Y_{n}={\frac {X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}}{n}}$

være gjennomsnittet av de $n$ første variablene. La $F_{n}$ være den kumulative fordelingsfunksjonen til

${\frac {Y_{n}{\sqrt {n}}}{\sigma }}$,

og $\Phi$ være den kumulative fordelingsfunksjonen til den standard normalfordelingen. Da finnes en positiv konstant $C$ slik at for alle $x$ og $n$ så er

$|F_{n}(x)-\Phi (x)|\leq {\frac {C\rho }{\sigma ^{3}{\sqrt {n}}}}$.

Her er $C$ en universell matematisk konstant, som er kjent som Berry–Esseen-konstanten. Den nøyaktige verdien av konstanten er ikke kjent. I Esseens opprinnelige arbeid gis den en øvre grense på 7,59, som senere har blitt forbedret. Den beste øvre grensen som er kjent i dag er 0,7655 og ble vist av Sjiganov i 1985. På den annen side er det kjent at $C$ er større enn $1/{\sqrt {2\pi }}\approx 0,3989$.