Apollonios’ sirkel

Apollonios' sirkel er det geometriske sted for alle punkt som har avstander til to gitte punkt slik at forholdet mellom avstandene er konstant. Radius til sirkelen er gitt ved størrelsen til det konstante forholdet.

Dette kan benyttes som definisjon av en sirkel og ble først omtalt av Apollonios fra Perge. Hans navn er derfor knyttet til setningen.

Geometrisk bevis rediger

Apollonios' sirkel går gjennom de to punktene T_i og T_a som er harmonisk konjugerte med de gitte punktene A og B.

Det geometriske stedet er definert ved punkt X slik at forholdet λ = AX/BX mellom avstandene til de to gitte punktene A og B er konstant. For å vise at dette er en sirkel, kan man konstruere et indre punkt T_i og et ytre punkt T_a som begge deler linjestykket AB med delingsforholdet λ. Disse to punktene er dermed harmonisk konjugerte med A og B. Dermed vil AT_i /T_aB = λ som igjen er lik med forholdet XA/XB.

Halveringslinjesetningen sier nå at linjen XT_i halverer den indre vinkelen til hjørnet X i trekanten AXB. Da det samme argumentet viser at linjen XT_a halverer den ytre vinkelen til X i samme trekant, vil vinkelen T_i XT_a være en rett vinkel. Fra Tales’ teorem følger da at punktet X må ligge på en sirkel med linjestykket T_iT_a som diameter. Dette er Apollonios' sirkel.^[1]

Inversjonssirkel rediger

Apollonios-sirkelen har sitt sentrum i M som er midtpunktet mellom punktene T_i og T_a. Vinkelen MAX vil da være like stor som MXB fordi linjene XT_i og XT_a halverer de to vinklene i X. De to trekantene MAX og MXB er derfor likeformede da de har vinkelen AMX felles. Dermed er forholdene

{AX \over BX}=\lambda ={MX \over MB}={MA \over MX}

også like store.^[2]

Ved divisjon av de to siste forholdene følger at

MA\cdot MB=MX^{2}

De to gitte punktene A og B er derfor inverse av hverandre relativt til deres Apollonios-sirkel med radius r = MX.

Størrelsen til denne radius kan finnes ved å multipliseres de to siste forholdene sammen. Det resulterer i at MA/MB = λ². Hvis lengden av det gitte linjestykket AB = a, vil da MB = a /(λ² - 1) når λ > 1. Radius i Apollonios-sirkelen er dermed r = aλ /(λ² - 1). Denne blir uendelig stor i det spesielle tilfellet at λ = 1 og sirkelen degenerer til en rett linje som står vinkelrett på AB og halverer den.

Analytisk fremstilling rediger

Man kan benytte et kartesiske koordinater med origo i A og x-aksen langs linjen som forbinder den med B. Disse to gitte punktene har gjensidig avstand a, Kravet til et punkt X = (x,y) på det geometriske stedet er da at XA/XB = λ skal være konstant. Det betyr at

{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=\lambda {\sqrt {\left(x-a\right)^{2}+y^{2}}}

,

Ved å kvadrere denne ligningen kan den skrives på formen

x^{2}+y^{2}-{\frac {2\lambda ^{2}ax}{\lambda ^{2}-1}}+{\frac {\lambda ^{2}a^{2}}{\lambda ^{2}-1}}=0

.

Den beskriver en sirkel med sentrum i $a\lambda ^{2}/(\lambda ^{2}-1)$ på x-aksen og med radius $r=a\lambda /|\lambda ^{2}-1|$ . Når $\lambda \ll 1$ ligger sirkelsentrum like til venstre for origo i A. Etterhvert som $\lambda$ øker, flytter det seg ut til venstre, og radius øker. For den spesielle verdien $\lambda =1$ forsvinner senteret ut til venstre for så å dukke opp igjen langt ute til høyre for B. For enda større verdier av $\lambda$ nærmer det seg dette punktet, mens sirkelens radius samtidig går mot null.

Referanser rediger

^ R. Bix, Topics in Geometry, Academic Press, San Diego (1994). ISBN 0-12-102740-6.
^ D. Pedoe, A Course of Geometry for Colleges and Universities, Cambridge University Press, London (1970). ISBN 0-521-07638-2.

Eksterne lenker rediger

Cut-the-Knot, Locus of Points in a Given Ratio to Two Points
P. Pamfilos, Apollonian Circles, Geometrikon.

[Bix-1] R. Bix, Topics in Geometry, Academic Press, San Diego (1994). ISBN 0-12-102740-6.

[Pedoe-2] D. Pedoe, A Course of Geometry for Colleges and Universities, Cambridge University Press, London (1970). ISBN 0-521-07638-2.

[1]

[2]